sábado, junio 16, 2007

Loterías, cumpleaños y probabilidades

Entonces, en la lotería, ¿es mejor jugar cada vez un número que siempre al mismo?
Antes de responder, repasemos esta paradoja. Es un resultado que dice lo siguiente:
Si hay 23 personas reunidas hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%.
Aunque esto es sorprendente, es fácilmente demostrable con conocimientos elementales de probabilidad (distribución binomial) y análisis matemático (desarrollo en serie de Taylor). La verificación de las cifras anteriormente mencionadas no viene al caso, y el que quiera detalles puede dirigirse a la versión del artículo en WP:EN (no os envío a la española porque la versión inglesa, como siempre, está mucho más completa).

Ahora bien, ¿cómo es posible entender mejor este hecho paradójico? Ponsamos el siguiente símil: imaginemos que te encuentras suspendido en el techo de una habitación, y tienes los bolsillos cargados de monedas con el objetivo de usarlas para cubrir el suelo completamente. Sabes que para tapar el suelo sin superponer monedas haría falta una gran cantidad de éstas, y poco a poco las vas soltando de una en una. Mientras que la superficie de suelo libre va reduciéndose, la probabilidad de que una moneda caiga encima de otra se incrementa rápidamente desde cero (al principio) a casi uno, cuando no lleves ni la mitad de las monedas que cubrirían el suelo lanzadas.

¿Pero esto puede ayudarnos a ganar la lotería*? La respuesta es definitivamente no (lo siento queridos lectores, pero seguro que lo esperábais). ¿Qué resultado sería, en lotería, el equivalente de la paradoja del cumpleaños? Ciñámonos a nuestra lotería más universal: El Gordo. Básicamente, el equivalente en este caso consistiría en que cuanto más avancen los años, más difícil es que el número que sale como "Gordo" sea distinto a alguno de los anteriores "Gordos''. El resultado se demostraría de la misma forma que la paradoja del cumpleaños, donde cada sorteo equivale a una persona más en la sala, y el número de días posibles para el cumpleaños de cada persona sería 66000 (total de números diferentes en la lotería de Navidad). Haciendo los mismos cálculos que para la paradoja del cumpleaños pero para el Gordo de Navidad, obtenemos que la distribución de probabilidad acumulativa entre 1 y 800 (aproximación de Poisson) es la siguiente (gracias al gnuplot):Así, la probabilidad de "colisión" (que coincidan dos números en los primeros premios entregados hasta la fecha) ronda el 0.5 para n=300 años. ¡Es una cifra suficientemente pequeña en comparación con los 66000 números diferentes. De hecho, el gordo ya ha tocado más de una vez en el mismo número, lo que viene a corroborar estos cálculos. No obstante y yendo al caso práctico, comprar siempre el mismo número cada año te garantiza lo mismo que si lo compraras diferente: tienes una probabilidad entre 66000** de ganar el Gordo. Nótese que la paradoja del cumpleaños se aplica al caso de calcular la probabilidad de que dos personas en la sala coincidan en su cumpleaños, no de que haya alguien que coincida contigo. También sería falaz el argumento de decir "esperando 300 años comprando siempre el mismo número que uno que ya ha tocado tengo 0.5 de probabilidad de que me toque". Suponiendo que pudieras vivir ese número de años, de lo que habría probabilidad 0.5 es de que se repitiera algún número de los anteriores 300, no necesariamente el tuyo.

Volviendo al ejemplo de las monedas, comprar cada año el mismo número con objeto de intentar incrementar tu probabilidad de ganar sería como fijar tu moneda al suelo, y estudiar la probabilidad de que tras tiradas y tiradas de otras monedas al suelo (cada uno de los sorteos), cayera alguna justo encima de la tuya. Este hecho es siempre igual de improbable por más monedas que tires, y no tiene relación con la probabilidad de que se superpongan dos monedas mientras las vas tirando (cuya probabilidad aumenta siguiendo la función de antes ya que cada vez hay menos "suelo libre").

Lamento desilusionaros, pero es que como suele decirse: en el juego como en el amor, casi siempre se pierde. ¿O no sería así?
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* ¿O al menos, a aumentar nuestra probabilidad de ganar?
** Obviamente, no estoy considerando números de serie diferentes ni nada por el estilo, lo cuál complicaría aún más el problema.

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